Observe que o § 1º do art. 46 da Lei do Inquilinato enuncia que findo o prazo (aquele do primeiro contrato, no seu caso 1 ano) e permanecendo o locatário na posse do imóvel sem oposição do locador, presume-se pela continuidade do contrato nas mesmas condições.
Veja que, como já aludido, tais obrigações são de natureza 'propter personam'.
Logo, respondendo a sua pergunta: Uma vez que no caso concreto a titularidade dos débitos está vinculada ao CPF do locatário desde o início do contrato, aquele do "período sem contrato formal" ainda serão de responsabilidade do mesmo.